Regularly abstract convex functions with respect to the set of Lipschitz continuous concave functions

The goal of the paper is to study the particular class of regularly ${\mathcal{H}}$-convex functions, when ${\mathcal{H}}$ is the set ${\mathcal{L}\widehat{C}}(X,{\mathbb{R}})$ of real-valued Lipschitz continuous classically concave functions defined on a real normed space $X$. For an extended-real-valued function $f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$ to be ${\mathcal{L}\widehat{C}}$-convex it is necessary and sufficient that $f$ be lower semicontinuous and bounded from below by a Lipschitz continuous function; moreover, each ${\mathcal{L}\widehat{C}}$-convex function is regularly ${\mathcal{L}\widehat{C}}$-convex as well. We focus on ${\mathcal{L}\widehat{C}}$-subdifferentiability of functions at a given point. We prove that the set of points at which an ${\mathcal{L}\widehat{C}}$-convex function is ${\mathcal{L}\widehat{C}}$-subdifferentiable is dense in its effective domain. Using the subset ${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$ of the set ${\mathcal{L}\widehat{C}}$ consisting of such Lipschitz continuous concave functions that vanish at the origin we introduce the notions of ${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$-subgradient and ${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$-subdifferential of a function at a point which generalize the corresponding notions of the classical convex analysis. Symmetric notions of abstract ${\mathcal{L}\widecheck{C}}$-concavity and ${\mathcal{L}\widecheck{C}}$-superdifferentiability of functions where ${\mathcal{L}\widecheck{C}}:= {\mathcal{L}\widecheck{C}}(X,{\mathbb{R}})$ is the set of Lipschitz continuous convex functions are also considered. Some properties and simple calculus rules for ${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$-subdifferentials as well as ${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$-subdifferential conditions for global extremum points are established.Comment: 18 page

Representations of affine multifunctions by affine selections

The paper deals with affine selections of affine (both convex and concave) multifunctions acting between finite-dimensional real normed spaces. It is proved that each affine multifunction with compact values possesses an exhaustive family of affine selections and, consequently, can be represented by its affine selections. Moreover, a convex multifunction with compact values possesses an exhaustive family of affine selections if and only if it is affine. Thus the existence of an exhaustive family of affine selections is the characteristic feature of affine multifunctions which distinguishes them from other convex multifunctions with compact values. Besides, a necessary and sufficient condition for a concave multifunction to be affine on a given convex subset is also proved. Finally it is shown that each affine multifunction with compact values can be represented as the closed convex hull of its exposed affine selections and as the convex hull of its extreme affine selections. These statements extend the Straszewicz theorem and the Krein-Milman theorem to affine multifunctions.National Program of Fundamental Researchs of Belarus under grant “Mathematical Models—16”

МИНИМАКСНОЕ И МАКСИМИННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

For functions, which belong to different (continuous, Lipschitz, difference-sublinear, piecewise-linear) subspaces of the space of positively homogeneous functions, we prove the existence and establish the characteristic properties of a two-index family of linear functions which provides simultaneously both minimax and maximin representations of such functions.Для функций различных (непрерывных, липшицевых, разностно-сублинейных, кусочно-линейных) подпространств пространства положительно однородных функций доказано существование и указаны характеристические свойства двухиндексного семейства линейных функций, задающего одновременно минимаксное и максиминное представления таких функций

Влияние перегрузочной способности маслонаполненных трансформаторов на пропускную способность электрической сети

During the operation of the electric power system, there is often a need to overload its individual elements (generators, power transformers, overhead and cable power lines, switching electric devices) for a period lasting from several dozens of minutes to a day. The overloads can be caused by intentional disconnection of parallel elements of the system because of scheduled preventive repairs, post-accident disconnections, as well as an unexpected increase in electricity consumption due to the impact of various factors. The overload capacity of the system elements makes it possible to increase operational reliability of power supply to consumers without additional expenditures while maintaining, in most cases, the almost normal service life of electrical equipment. Oil-filled transformers have the greatest potential overload capacity power, which makes it possible to consider them as a significant source of increasing the capacity of the transmission and distribution networks of the electric power system. Excessive over-current of power oil-filled transformers significantly reduces reliability and reduces their normal service life. This is due to the accelerated process of wear of the insulation material of the transfer windings as a result of overheating of the transformer oil, that causes structural changes and, as a consequence, to mechanical damage to the insulation of the windings; the latter can cause an electrical puncture. On the other hand, underestimation of the permissible overload of transformers might result in economic losses due to under-produced products when the functioning of the part of the transformers connected in parallel are ceased for scheduled preventive maintenance or as a result of forced emergency shutdowns. Therefore, there is a need to assess the potential of reasonable increase in the throughput capacity of the electrical network and, accordingly, the reliability of the power supply system, taking into account the requirements for the permissible loads of transformers when the electrical network and various operating modes are being designed.В процессе эксплуатации электроэнергетической системы нередко возникает необходимость перегрузки ее отдельных элементов (генераторов, силовых трансформаторов, воздушных и кабельных линий электропередачи, коммутационных электрических аппаратов) продолжительностью от нескольких десятков минут до суток. Причинами перегрузок могут быть преднамеренные отключения параллельных элементов системы для проведения планово-предупредительных ремонтов, послеаварийные отключения, а также непредвиденное увеличение потребляемой электроэнергии вследствие воздействия различных факторов. Перегрузочная способность элементов системы позволяет оперативно повысить эксплуатационную надежность электроснабжения потребителей без дополнительных затрат при сохранении в большинстве случаев практически нормального срока службы электрооборудования. Наибольшей потенциальной перегрузочной способностью обладают силовые маслонаполненные трансформаторы, что дает возможность рассматривать их как значимый источник повышения пропускной способности передающей и распределительной сетей электроэнергетической системы. Чрезмерные перегрузки по току силовых маслонаполненных трансформаторов существенно снижают надежность и сокращают нормальный срок их службы. Это происходит из-за ускоренного процесса износа материала изоляции обмоток трансформаторов в результате перегрева трансформаторного масла, что приводит к структурному изменению и, как следствие, к механическому повреждению изоляции обмоток, что может вызвать электрический пробой. Однако недооценка допустимой перегрузки трансформаторов может привести к экономическому ущербу за счет недовыпуска продукции в случае выхода из работы части параллельно включенных трансформаторов для проведения планово-предупредительных ремонтов или в результате послеаварийных отключений. Возникает необходимость оценки потенциала обоснованного повышения пропускной способности электрической сети и соответственно надежности системы электроснабжения с учетом требований, предъявляемых к допустимым нагрузкам трансформаторов при проектировании электрической сети и работе в различных режимах эксплуатации

Опорные точки полунепрерывных снизу функций относительно множества липшицевых вогнутых функций

For the functions defined on normed vector spaces, we introduce a new notion of the LC -convexity that generalizes the classical notion of convex functions. A function is called to be LC -convex if it can be represented as the upper envelope of some subset of Lipschitz concave functions. It is proved that the function is LC -convex if and only if it is lower semicontinuous and, in addition, it is bounded from below by a Lipschitz function. As a generalization of a global subdifferential of a classically convex function, we introduce the set of LC -minorants supported to a function at a given point and the set of LC -support points of a function that are then used to derive a criterion for global minimum points and a necessary condition for global maximum points of nonsmooth functions. An important result of the article is to prove that for a LC - convex function, the set of LC -support points is dense in its effective domain. This result extends the well-known Brondsted– Rockafellar theorem on the existence of the sub-differential for classically convex lower semicontinuous functions to a wider class of lower semicontinuous functions and goes back to the one of the most important results of the classical convex analysis – the Bishop–Phelps theorem on the density of support points in the boundary of a closed convex set.Для функций, определенных на нормированных пространствах, вводится понятие  LС -выпуклости, которое обобщает понятие классически выпуклых функций.  LС -выпуклыми названы такие функции, которые являются верхними огибающими некоторого множества липшицевых вогнутых функций. Доказывается, что функция является LС -выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. Как обобщение понятия глобального субдифференциала классически выпуклой функции, вводятся множество опорных LС -минорант к функции в заданной точке и множество нижних LС -опорных точек функции, в терминах которых затем устанавливаются критерий для точек глобального минимума и необходимое условие для точек глобального максимума негладких функций. Важным результатом данного сообщения является доказательство того, что для LС -выпуклых функций множество нижних LС -опорных точек является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда–Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций и восходят к одному из важнейших результатов классического выпуклого анализа – теореме Бишопа–Фелпса о плотности опорных точек в границе замкнутого выпуклого множества

Субдифференцируемость функций, выпуклых относительно множества липшицевых вогнутых функций

A function defined on normed vector spaces X is called convex with respect to the set LĈ := LĈ (X,R ) ofLipschitz continuous classically concave functions (further, for brevity, LĈ -convex), if it is the upper envelope of some subset of functions from LĈ. A function f is LĈ -convex if and only if it is lower semicontinuous and bounded from below by a Lipschitz function. We introduce the notion of LĈ -subdifferentiability of a function at a point, i. e., subdifferentiability with respect to Lipschitz concave functions, which generalizes the notion of subdifferentiability of classically convex functions, and prove that for each LĈ -convex function the set of points at which it is LĈ -subdifferentiable is dense in its effective domain. The last result extends the well-known Brondsted – Rockafellar theorem on the existence of the subdifferential for classically convex lower semicontinuous functions to the more wide class of lower semicontinuous functions. Using elements of the subset LĈ θ ⊂ LĈ, which consists of Lipschitz continuous functions vanishing at the origin of X we introduce the notions of LĈ θ -subgradient and LĈ θ -subdifferential for a function at a point.The properties of LĈ -subdifferentials and their relations with the classical Fenchel – Rockafellar subdifferential are studied. Considering the set LČ := LČ (X,R ) of Lipschitz continuous classically convex functions as elementary ones we define the notions of LČ -concavity and LČ -superdifferentiability that are symmetric to the LĈ -convexity and LĈ -subdifferentiability of functions. We also derive criteria for global minimum and maximum points of nonsmooth functions formulated in terms of LĈ θ -subdifferentials and LČ θ -superdifferentials.Функция, определенная на нормированном пространстве X, называется выпуклой относительно множества LĈ := LĈ (X,R ) липшицевых классически вогнутых функций (далее для краткости – LĈ -выпуклой), если она является верхней огибающей некоторого подмножества функций из LĈ. Функция является LĈ –выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. В статье вводится понятие LĈ -субдифференцируемости функции в точке, т. е. субдифференцируемости относительно липшицевых вогнутых функций, обобщающее понятие субдифференцируемости классически выпуклых функций, и доказывается, что для любой LĈ -выпуклой функции множество точек, в которых она является LĈ -субдифференцируемой, является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда – Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций. Используя элементы подмножества LĈ θ ⊂ LĈ , состоящего из таких липшицевых вогнутых функций, которые принимают нулевое значение в нулевой точке пространства X, определяются понятия LĈ θ LĈ -субградиента и LĈ θ  -субдифференциала функции в точке. Исследуются свойства LĈ θ -субдифференциалов и их связь с классическим субдифференциалом Фенхеля – Рокафеллара. Рассматривая в качестве элементарных функций множество LČ := LČ (X,R ) липшицевых выпуклых (в классическом смысле) функций, вводятся симметричные LĈ -выпуклости и LĈ -субдифференцируемости понятия LČ -вогнутости и LČ -супердифференцируемости функций. В терминах LĈθ –субдифференциалов и LČθ -супердифференциалов устанавливаются критерии для точек глобального минимума и максимума функций

Continuous selections of multivalued mappings

This survey covers in our opinion the most important results in the theory of continuous selections of multivalued mappings (approximately) from 2002 through 2012. It extends and continues our previous such survey which appeared in Recent Progress in General Topology, II, which was published in 2002. In comparison, our present survey considers more restricted and specific areas of mathematics. Note that we do not consider the theory of selectors (i.e. continuous choices of elements from subsets of topological spaces) since this topics is covered by another survey in this volume